Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）函數(shù)h(x)=ln(1+x2)-

1

2

f(x)-k有幾個(gè)零點(diǎn)？

Answer 1

分析：（1）先表示出汗水F（x）的表達(dá)式，再根據(jù)F（x-5）=F（5-x）求出b的值，進(jìn)而可確定函數(shù)f（x）的解析式．
（2）將（1）中求出的函數(shù)f（x）的解析式代入函數(shù)g（x）然后求導(dǎo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g′（x）≥0或g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
（3）對(duì)函數(shù)h（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)和原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定零點(diǎn)．

解答：解：（1）由題設(shè)得：F（x）=x²+bsinx，
∵F（x-5）=F（5-x），
∴F（-x）=F（x）
∴x²-bsinx=x²+bsinx，
∴bsinx=0對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都成立，
∴b=0
∴f（x）=x²-2．

（2）由g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx，
得g′(x)=2x+2+

a

x

  (x＞0)
g（x）在（0，1）上恒單調(diào)，只需g′（x）≥0或g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≥-（2x²+2x）或a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
設(shè)u（x）=-（2x²+2x），x∈（0，1），易知：u（x）∈（-4，0），
∴a≥0或a≤-4．

（3）令y=ln(1+x2)-

1

2

f(x)，y′=

2x

1+x2

-x=-

x(x+1)(x-1)

1+x2

，
令y′=0?x=0或x=1或x=-1，列表如下：
∴當(dāng)k＞ln2+

1

2

時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)k＜1或k=ln2+

1

2

時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)k=1時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)1＜k＜ln2+

1

2

時(shí)，有四個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后列出函數(shù)f（x）、f'（x）隨x變化的表格，其單調(diào)性、極值點(diǎn)即可呈現(xiàn)出來(lái)．