Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x．
（1）數(shù)列{a_n}滿足a₁＞0，a_n+1=f'（a_n），若對(duì)任意n∈N₊恒成立，求a₁的取值范圍；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=f（b_n），n∈N₊，記，S_k為數(shù)列{c_n}前k項(xiàng)和，T_k為數(shù)列{c_n}的前k項(xiàng)積，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意得到a_n+1=2a_n+1，利用構(gòu)造新數(shù)列的方法求出a_n+1=（a₁+1）2^n-1，進(jìn)而得到，再求和整理可得即可得到答案．
（2）由b_n+1=b_n（b_n+1）即可得到，進(jìn)而得到T_n=，，利用放縮法得到，進(jìn)一步利用放縮法得到，即可得到答案．
解答：解：（1）由題意可得：函數(shù)f（x）=x²+x，
所以f′（x）=2x+1，
所以a_n+1=2a_n+1，即a_n+1+1=2（a_n+1），
所以{a_n+1}為等比數(shù)列，并且a_n+1=（a₁+1）2^n-1
所以
即有＜對(duì)任意n∈N₊恒成立，
即有對(duì)任意n∈N₊恒成立，
故a₁≥3．
（2）由題意可得：函數(shù)f（x）=x²+x，
所以b_n+1=f（b_n）=b_n（b_n+1）
所以
所以=，
又由b_n+1=b_n（b_n+1）得，
所以，，
因?yàn)閎₁=1，b_k+1=b_k（b_k+1），所以b_k+1＞b_k²，即有
又因?yàn)閎₁=1，b₂=2，b₃=6，
所以＜＜．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是數(shù)列掌握求數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和的方法，而在證明不等式或者證明不等式恒成立等問(wèn)題時(shí)最常用的方法是放縮法．