Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．

(1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1，)到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫(xiě)出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．

(2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程．

(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值，試寫(xiě)出雙曲線＝1具有類似特性的性質(zhì)并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由已知條件可寫(xiě)出橢圓方程及代入法求軌跡，本題不是直接證明橢圓中的性質(zhì)，而是類似地轉(zhuǎn)化到雙曲線中證明雙曲線具有的性質(zhì)，用斜率公式及雙曲線方程即可得證． 　　解：(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2． 　　又點(diǎn)A(1，)在橢圓上，因此＋＝1，b2＝3． 　　∴c2＝a2－b2＝1． 　　∴橢圓C的方程為＋＝1，焦點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)． 　　(2)設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K(x1，y1)，線段F1K的中點(diǎn)Q(x，y)滿足x＝，y＝， 　　∴x1＝2x＋1，y1＝2y． 　　∴＋＝1，即(x＋)2＋＝1為所求的軌跡方程． 　　(3)類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線＝1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，n)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－m，－n)，其中＝1． 　　又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由kPM＝， 　　kPN＝，得kPM·kPN＝·＝． 　　將y2＝x2－b2，n2＝m2－b2，代入得kPM·kPN＝．

提示：

類比定義和性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常考查的一類問(wèn)題，它能很好地培養(yǎng)學(xué)生探索問(wèn)題的能力，應(yīng)該給予足夠的重視．有興趣的同學(xué)也可證明橢圓具有的性質(zhì)．類比是研究圓錐曲線的一種方法．