Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{3}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{4}t}\end{array}\right.$，直線(xiàn)l和圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是圓C上不同于A，B的任意一點(diǎn)
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），即ρ²=$2\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ-cosθ），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）圓C的圓心C（-1，1），半徑r=$\sqrt{2}$．直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{3}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{4}t}\end{array}\right.$，可得普通方程：3x+4y+4=0．利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得圓心C到直線(xiàn)AB的距離d，可得圓C上的點(diǎn)到直線(xiàn)AB的最大距離=d+r，|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-dlti0k4^{2}}$．即可得出△PAB面積的最大值=$\frac{1}{2}|AB|$×（d+r）．

解答 解：（1）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），即ρ²=$2\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ-cosθ），
利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²+2x-2y=0，即（x+1）²+（y-1）²=2．
（2）圓C的圓心C（-1，1），半徑r=$\sqrt{2}$．
直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{3}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{4}t}\end{array}\right.$，可得普通方程：3x+4y+4=0．
∴圓心C到直線(xiàn)AB的距離d=$\frac{|-3+4+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1．
∴圓C上的點(diǎn)到直線(xiàn)AB的最大距離=1+$\sqrt{2}$，|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-g4zmfmn^{2}}$=2．
∴△PAB面積的最大值=$\frac{1}{2}|AB|$×（d+r）=$\frac{1}{2}×2×（1+\sqrt{2}）$=1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．