Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導出BD⊥PA，BD⊥AC，由此能證明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）設AC∩BD=O，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出當平面PBC與平面PDC垂直時，PA的長．

解答 證明：（Ⅰ）∵在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴BD⊥PA，
∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）設AC∩BD=O，∵∠BAD=60°，PA=PB=2，
∴BO=1，AO=CO=$\sqrt{3}$，
如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，
則 P（0，-$\sqrt{3}$，2），A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
設P（0，-$\sqrt{3}$，t）（t＞0），則$\overrightarrow{BP}$=（-1，-$\sqrt{3}$，t），
設平面PBC的法向量m=（x，y，z），
則$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{m}$=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+3\sqrt{y}=0}\\{-x-\sqrt{3}y+tz=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$，則x=3，z=$\frac{6}{t}$，∴$\overrightarrow{m}=（3，\sqrt{3}，\frac{6}{t}）$，
同理，平面PDC的法向量$\overrightarrow{n}=（-3，\sqrt{3}，\frac{6}{t}）$，
∵平面PCB⊥平面PDC，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=--6+$\frac{36}{{t}^{2}}$=0，
解得t=$\sqrt{6}$，∴PA=$\sqrt{6}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查面面垂直時線段長的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．