【題目】如圖所示,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1F2,線段OF1、OF2的中點(diǎn)分別為B1、B2,△AB1B2是面積為4的直角三角形.

(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)B1作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),使PB2⊥QB2,△PB2Q的面積.

【答案】(1) +=1 (2)

【解析】試題分析:()設(shè)橢圓的方程為F2c,0),利用△AB1B2是的直角三角形,|AB1|=AB2|,可得∠B1AB2為直角,從而,利用c2=a2﹣b2,可求,又S=|B1B2||OA|==4,故可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;

)由()知B1﹣2,0),B220),由題意,直線PQ的傾斜角不為0,故可設(shè)直線PQ的方程為x=my﹣2,代入橢圓方程,消元可得(m2+5y2﹣4my﹣16﹣0,利用韋達(dá)定理及PB2⊥QB2,利用可求m的值,進(jìn)而可求△PB2Q的面積.

解:()設(shè)橢圓的方程為,F2c0

∵△AB1B2是的直角三角形,|AB1|=AB2|,∴∠B1AB2為直角,從而|OA|=|OB2|,即

∵c2=a2﹣b2∴a2=5b2,c2=4b2,

△AB1B2中,OA⊥B1B2,∴S=|B1B2||OA|=

∵S=4,∴b2=4∴a2=5b2=20

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為;

)由()知B1﹣2,0),B22,0),由題意,直線PQ的傾斜角不為0,故可設(shè)直線PQ的方程為x=my﹣2

代入橢圓方程,消元可得(m2+5y2﹣4my﹣16=0①

設(shè)Px1,y1),Qx2y2),

,

=

∵PB2⊥QB2,

∴m=±2

當(dāng)m=±2時,可化為9y2±8y﹣16﹣0

∴|y1﹣y2|==

∴△PB2Q的面積S=|B1B2||y1﹣y2|=×4×=

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D.xA>xB , A比B成績穩(wěn)定

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