Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$），離心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）已知直線l：x=my+1與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，記△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t，求t的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$可得a=2c，b=$\sqrt{3}$c；再由點(diǎn)P在橢圓上，解方程可求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）右焦點(diǎn)F（1，0），直線l：x=my+1與橢圓的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而聯(lián)立方程再用韋達(dá)定理，再寫出k_PA，k_PB，從而化簡t=k_PA•k_PB•k．從而由配方法求最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，由題意，得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
所以 a=2c，b=$\sqrt{3}$c．
又點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
解得a=2，c=1，
故橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）直線l：x=my+1與橢圓的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去x，
得 （4+3m²）y²+6my-9=0．
由題意，可知△＞0，
則y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，①
所以直線PA的斜率k_PA=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$，直線PB的斜率k_PB=$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$，
所以t=k_PA•k_PB•k=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$•$\frac{1}{m}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}+\frac{9}{4}-\frac{3}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{3}{y}_{1}{y}_{2}}$
代入①，化簡可得t=-$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{3}{4m}$=-（$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{8}$）²+$\frac{9}{64}$，
則當(dāng)m=-$\frac{8}{3}$時(shí)，△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積t有最大值$\frac{9}{64}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．