Question

已知動直線x=α（α∈R）與x軸交于A點(diǎn)，與函數(shù)f（x）=sinx和g（x）=cos（x+

π

6

）的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)h（α）=|AM|²+|AN|²．
（Ⅰ）求函數(shù)h（α）的最小正周期及值域；
（Ⅱ）求函數(shù)h（α）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖象,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，寫出A（a，0），M（a，sina），N（a，cos（a+

π

6

）），構(gòu)造函數(shù)，再求解其周期和值域；
（Ⅱ）直接根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求解．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得A（α，0），M（α，sinα），N（α，cos（α+

π

6

）），
∴h（α）=|AM|²+|AN|²
=cos（α+

π

6

）+sinα
=cosαcos

π

6

-sinαsin

π

6

+sinα
=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=cos（α-

π

6

）
∴T=

2π

1

=2π，
值域?yàn)閇-1，1]．
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）得
h（α）=cos（α-

π

6

）
令-π+2kπ≤α-

π

6

≤2kπ，k∈Z，
∴-

5π

6

+2kπ≤α≤

π

6

+2kπ，k∈Z，
∴函數(shù)h（α）的單調(diào)遞增區(qū)間[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性等知識，屬于中檔題．