Question

對于函數(shù)f(x)=log

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(x2-2ax+3)，解答下述問題：
（1）若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)的值域為（-∞，-1]，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若函數(shù)的定義域為R，則內(nèi)函數(shù)u=g（x）=x²-2ax+3的最小值大于0，進而可得實數(shù)a的取值范圍；
（2）函數(shù)的值域為（-∞，-1]，則內(nèi)函數(shù)u=g（x）=x²-2ax+3的最小值為2，進而可得實數(shù)a的值．

解答： 解：記u=g（x）=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²，
（1）∵u＞0對x∈R恒成立，
∴umin=3-a2＞0⇒-

3

＜a＜

3

，
∴a的取值范圍是(-

3

，

3

)；
（2）∵g（x）的值域是[3-a²，+∞），
∴函數(shù)的值域為（-∞，-1]等價于[g(x)]min=3-a2=2⇒a=±1；
即a的值為±1；

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．