Question

如圖所示，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中底面邊長為2

2

，側(cè)棱長為4，E、F分別為棱AB，BC的中點．
（1）求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（2）計算三棱錐B₁-EBF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，由已知條件得AC⊥BD，從而EF⊥BD，由線面垂直得FE⊥BB₁，從而EF⊥平面平面BDD₁B₁，由此能證明平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．
（2）由題意知BE=BF=

2

，BB₁⊥平面B₁EF，且BB₁=4，由此能求出三棱錐B₁-EBF的體積．

解答： （1）證明：連結(jié)AC，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵E、F分別為棱AB，BC的中點，
∴EF∥AC，∴EF⊥BD，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥ABCD，
又EF?面ABCD，∴FE⊥BB₁，
∵BD∩BB₁=B，∴EF⊥平面平面BDD₁B₁，
∵EF?平面B₁EF，
∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁．
（2）解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中底面邊長為2

2

，
側(cè)棱長為4，E、F分別為棱AB，BC的中點，
∴BE=BF=

2

，BB₁⊥平面B₁EF，且BB₁=4，
∴三棱錐B₁-EBF的體積：
V=

1

3

×S△B1EF×BB1
=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×4=

4

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．