四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，ABCE為菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分別是線段CE，PB上的動點(diǎn)，且滿足＝＝λ∈(0，1)．

(Ⅰ)求證：FG∥平面PDC；

(Ⅱ)求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值為．

答案：
解析：

　　方法一：

　　(Ⅰ)證明：如圖以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A－xyz，其中K為BC的中點(diǎn)，

　　不妨設(shè)PA＝2，則，，

　　，，，．

　　由，得

　　，，

　　，

　　設(shè)平面的法向量＝(x，y，z)，則

　　，，

　　得

　　可取＝(，1，2)，于是

　　，故，又因?yàn)?I>FG平面PDC，即∥平面．　6分

　　(Ⅱ)解：，，

　　設(shè)平面的法向量，則，，

　　可取，又為平面的法向量．

　　由，因?yàn)閠an＝，cos＝，

　　所以，解得或(舍去)，

　　故．　15分

　　方法二：

　　(Ⅰ)證明：延長交于，連，．

　　得平行四邊形，則∥，

　　所以．

　　又，則，

　　所以//．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4390/0020/b033461343e05610688be23b2d9bc3b3/C/Image93.gif" width=38 HEIGHT=17>平面，平面，

　　所以//平面．　6分

　　(Ⅱ)解：作FM于，作于，連．

　　則，為二面角的平面角．

　　，不妨設(shè)，則，，

　　由

　　得，即．　15分


提示：

本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力．滿分15分．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖．在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底    面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：平面PAC⊥平面PDB；
（3）求三梭錐D一ECB的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在四棱錐P一ABCD中，二面角P一AD一B為60°，∠PDA=45°，∠DAB=90°，∠PAD=90°，∠ADC=135°，
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PD與平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P一CD一B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．PA=PD=AD=2，點(diǎn)M在線段PC上 PM=
13
PC
（1）證明：PA∥平面MQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011—2012學(xué)年浙江省海寧中學(xué)高二期中理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AB＝2，M, N分別為PA, BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN與平面PAC所成角的正切值．

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