Question

（2011•廣州模擬）如果在一次試驗中，某事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生偶數(shù)次的概率為

1

2

[1+(1-2p)n]

．

Answer 1

分析：事件A發(fā)生偶數(shù)次的概率為 C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…，而把[（1-p）+p]ⁿ和[（1-p）-p]ⁿ的展開式相加并除以2，即可得到事件A發(fā)生偶數(shù)次的
概率．

解答：解：事件A發(fā)生偶數(shù)次的概率為 C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…
又[（1-p）+p]ⁿ=C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ+C_n¹p¹（1-p）^n-1+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n³p³（1-p）^n-3+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…+C_nⁿpⁿ（1-p）⁰  ①，
[（1-p）-p]ⁿ=C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ-C_n¹p¹（1-p）^n-1+C_n²p²（1-p）^n-2-C_n³p³（1-p）^n-3+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…+（-1）ⁿC_nⁿpⁿ（1-p）⁰ ②，
由①+②并除以2 可得

1

2

[1+(1-2p)n]=C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…，
故答案為：

1

2

[1+(1-2p)n]．

點評：本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發(fā)生k次的概率，二項式定理的應用，得到[（1-p）+p]ⁿ和[（1-p）-p]ⁿ的展開式，是解題的關鍵，屬于中檔題．