已知拋物線y2=4x,點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)M在拋物線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng) 
FM
OM
=4
時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)求 
|
OM
|
|
FM
|
的最大值;
(3)設(shè)點(diǎn)B(0,1),是否存在常數(shù)λ及定點(diǎn)H,使得 
BM
+2
FM
HM
恒成立?若存在,求出λ的值及點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
分析:(1)由拋物線的性質(zhì)可得,F(xiàn)(1,0),設(shè)點(diǎn)M(x,y) (x≥0)由
FM
OM
=4
  及點(diǎn)M滿足y2=4x可求x,y的值,進(jìn)而可求M
(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),其中x≥0.,利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)可用x表示 
|
OM
|
|
FM
|
=
3
(x+1)2
+
2
x+1
+1
,利用換元法及二次函數(shù)性質(zhì)可求
(3)設(shè)點(diǎn)M(x,y),其中x≥0.假設(shè)存在常數(shù)λ及定點(diǎn)H(x1,y1),使得
BM
+2
FM
HM
恒成立.則由
BM
+2
FM
HM
,得(x,y-1)+2(x-1,y)=λ(x-x1,y-y1),從而可求λ及x1,y1
解答:解:(1)由拋物線的性質(zhì)可得,F(xiàn)(1,0),設(shè)點(diǎn)M(x,y)   (x≥0)
FM
OM
=4
∴x(x-1)+y2=4①又∵y2=4x②
①②聯(lián)立可得,x=1,y=±2     即M(1,2)或M(1,-2)
(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y),其中x≥0.
|
OM
|
|
FM
|
  = 
x2+y2
(x-1)2+y2
  = 
x2+4x
(x+1)2
  = 
-3
(x+1)2
+
2
x+1
+1

設(shè)t=
1
x+1
(0<t≤1)
,
|
OM
|
|
FM
|
  =  
-3t2+2t+1
  =  
-3(t-
1
3
)
2
+
4
3

因?yàn)?<t≤1,所以當(dāng)t=
1
3
(即x=2)時(shí),
|
OM
|
|
FM
|
取得最大值
2
3
3

(3)設(shè)點(diǎn)M(x,y),其中x≥0.
假設(shè)存在常數(shù)λ及定點(diǎn)H(x1,y1),使得
BM
+2
FM
HM
恒成立.
BM
+2
FM
HM
,
得(x,y-1)+2(x-1,y)=λ(x-x1,y-y1),解:拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是(1,0),設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),其中x0≥0.
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
FM
=(x0-1,y0),
OM
=(x0,y0),
所以
FM
OM
=x0(x0-1)+
y
2
0
=
x
2
0
+3x0=4
,
解得x0=1,或x0=-4(舍).
因?yàn)閥02=4x0,所以y0=±2,
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2),(1,-2).
3x-2=λx-λx1 
3y-1  =λy-λy1 
整理得
(λ-3)x+2-λx1=0 
(λ-3)y +  1 -λy1 =0 .

由x及y的任意性知λ=3,
所以x1=
2
3
,y1=
1
3

綜上,存在常數(shù)λ=3及定點(diǎn)H(
2
3
,
1
3
)
,使得
BM
+2
FM
HM
恒成立.
點(diǎn)評:本題以拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用為切入點(diǎn),主要考查了平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用,平面向量的基本運(yùn)算,考查了考試的邏輯推理與運(yùn)算的能力,具有一定的綜合性.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為P,AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(x0,0).
(1)求k的取值范圍;
(2)求證:x0>3;
(3)△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形?若能,求此k的值;若不能,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線
y
2
 
=4x
的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)A(4,4)作直線l:x=-1垂線,垂足為M,則∠MAF的平分線所在直線的方程為
x-2y+4=0
x-2y+4=0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x,焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為O,點(diǎn)P(m,n)在拋物線上移動(dòng),Q是OP的中點(diǎn),M是FQ的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程.
(2)求
nm+3
的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x與直線2x+y-4=0相交于A、B兩點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為F,那么|
FA
|+|
FB
|
=
7
7

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x,其焦點(diǎn)為F,P是拋物線上一點(diǎn),定點(diǎn)A(6,3),則|PA|+|PF|的最小值是
7
7

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案