Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lg（|x+3|+|x-7|）-a．
（1）當(dāng)a=1時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；
（2）如果?x∈R，f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,絕對值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，原不等式可變?yōu)閨x+3|+|x-7|＞10，由絕對值的意義求得其解集．
（2）根據(jù)|x+3|+|x-7|≥10對任意x∈R都成立，可得f（x）=lg（|x+3|+|x-7|）-a＞0的解集為R，∴故1-a＞0 恒成立，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，原不等式可變?yōu)閨x+3|+|x-7|＞10，
由絕對值的意義可得|x+3|+|x-7|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到-3、7對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-3和7到-3、7對應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于10，
可得其解集為{x|x＜-3，或x＞7}．
（2）∵|x+3|+|x-7|≥|x+3-（x-7）|=10對任意x∈R都成立．
∴f（x）=lg（|x+3|+|x-7|）-a＞0的解集為R，∴1-a＞0 恒成立，
∴a＜1．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值的意義，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．