Question

 已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，點M(0,2)是橢圓的一個頂點，△F₁MF₂是等腰直角三角形．

(1)求橢圓的方程；

(2)過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k₁，k₂，

且k₁＋k₂＝8，證明：直線AB過定點.

Answer 1

 (1)因為b＝2，△F₁MF₂是等腰直角三角形，所以c＝2，所以a＝2，

故橢圓的方程為＋＝1.(2)證明：①若直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為

y＝kx＋m，A點坐標為(x₁，y₁)，B點坐標為(x₂，y₂)，聯(lián)立方程得，

消去y，得(1＋2k²)x²＋4kmx＋2m²－8＝0，則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.

由題知k₁＋k₂＝＋＝8，所以＋＝8，

即2k＋(m－2)＝8.所以k－＝4，整理得m＝k－2.

故直線AB的方程為y＝kx＋k－2，即y＝k－2.

所以直線AB過定點.

②若直線AB的斜率不存在，設直線AB的方程為x＝x₀，A(x₀，y₀)，B(x₀，－y₀)，

則由題知＋＝8，得x₀＝－.此時直線AB的方程為x＝－，

顯然直線AB過點.綜上可知，直線AB過定點.