Question

（本小題滿分12分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，且過點(diǎn).

求橢圓的方程；

若點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn)

（ⅰ）設(shè)直線的斜率為直線的斜率為，求證：為定值；

（ⅱ）設(shè)過點(diǎn)垂直于的直線為.求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析 （2）

【解析】

試題分析：⑴由題意得 ，所以，又，

消去可得，，解得或（舍去），則，

所以橢圓的方程為．

⑵（ⅰ）設(shè)，，則，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040717361234376327/SYS201304071737030937709005_DA.files/image016.png">三點(diǎn)共線，所以，所以，，8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040717361234376327/SYS201304071737030937709005_DA.files/image019.png">在橢圓上，所以，故為定值．10分

（ⅱ）直線的斜率為，直線的斜率為,

則直線的方程為，

==，

所以直線過定點(diǎn)． 

考點(diǎn)：直線的斜率；恒過定點(diǎn)的直線；直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：本題考查轉(zhuǎn)化的技巧，（1）將兩斜率之積為定值的問題轉(zhuǎn)化成了兩根之積來求，（2）中將求兩動點(diǎn)的連線過定點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化成了求直線系過定點(diǎn)的問題，轉(zhuǎn)化巧妙，有藝術(shù)性．