Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²，n∈N^*．
（1）若b_n=

an

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項和P_n；
（2）若c_n=

Sn

2n

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求數(shù)列的前n項和求出數(shù)列的通項公式，代入b_n=

an

2n

后由錯位相減法求其前n項和；
（2）把S_n=n²代入c_n=

Sn

2n

，利用錯位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解（1）由S_n=n²，得a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
驗證n=1時成立，
∴a_n=2n-1，
∴P_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

-

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

．

1

2

Pn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

．
兩式作差得：

1

2

Pn=

1

2

+

2

22

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

，
∴Pn=1+1+

1

2

+

1

22

+… +

1

2n-2

-

2n-1

2n

=2+1+

1

2

+

1

22

+… +

1

2n-2

-

2n-1

2n

-1，
則Pn=

2[1- 1 2n ]

1- 1 2

-

2n-1

2n

-1=3-

2n+3

2n

；
（2）c_n=

Sn

2n

=

n2

2n

．
Tn=

1

2

+

22

22

+…+

n2

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

22

23

+…+

(n-1)2

2n

+

n2

2n+1

，
兩式作差得：

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

-

n2

2n+1

，
∴

1

2

Tn=Pn-

n2

2n+1

，

1

2

Tn=3-

2n+3

2n

-

n2

2n+1

，
則Tn=6-

n2+4n+6

2n

．

點評：本題考查了由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．