Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2na_n+1 -3n²-4n，S₃=15，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2na_n+1 -3n²-4n，S₃=15，令n=1，2，可得a₁=2a₂-7，a₁+a₂=4a₂-20，a₁+a₂+a₃=15，解得a₁=3，a₂=5，a₃=7，猜想a_n=2n+1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2na_n+1 -3n²-4n，S₃=15，
令n=1，2，可得a₁=2a₂-7，a₁+a₂=4a₂-20，a₁+a₂+a₃=15，
聯(lián)立解得a₁=3，a₂=5，a₃=7，
猜想a_n=2n+1．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3，成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*時(shí)，a_k=2k+1，
∵S_n=2na_n+1 -3n²-4n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2（n-1）a_n-3（n-1）²-4（n-1），
∴a_n=2na_n+1 -3n²-4n-2（n-1）a_n+3（n-1）²+4（n-1），
∴2na_n+1+（1-2n）a_n=6n+1．
令n=k，則2ka_k+1+（1-2k）（2k+1）=6k+1，
化為a_k+1=2k+3=2（k+1）+1．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．
∴a_n=2n+1對(duì)于?n∈N^*都成立．
∴a_n=2n+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、利用數(shù)學(xué)歸納法證明通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．