9.求證:?n∈N*,都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1<$\frac{2}{3}$(n+1)n+1成立.

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可,注意證明當(dāng)n=k+1時(shí)的再一次放縮.

解答 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=11+1=1,右邊=$\frac{2}{3}×{2}^{2}$=$\frac{8}{3}$,∴左邊<右邊,成立;
(2)假設(shè)對(duì)于任意n=k∈N*,1k+1+2k+1+3k+1+…+kk+1<$\frac{2}{3}(k+1)^{k+1}$成立,
則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1k+2+2k+2+…+kk+2+(k+1)k+2<$\frac{2}{3}(k+1)^{k+1}$+(k+1)k+2,
下面證明$\frac{2}{3}(k+1)^{k+1}$+(k+1)k+2$<\frac{2}{3}(k+2)^{k+2}$,即(k+1)k+1(3k+5)<2(k+2)k+2,即證明:$\frac{3}{2}$$<(1+\frac{1}{k+1})^{k+1}$,
上式成立,因此當(dāng)n=k+1時(shí),左邊<右邊,不等式成立.
綜上(1)(2)可知:?n∈N*,都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1<$\frac{2}{3}$(n+1)n+1成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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(2)已知函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x,則當(dāng)0<x<1時(shí),y∈(0,+∞),當(dāng)x>1時(shí),y∈(-∞,0).當(dāng)x>5時(shí),y∈(-∞,log${\;}_{\frac{1}{3}}$5);當(dāng)0<x<2時(shí),y∈(log${\;}_{\frac{1}{3}}$2,+∞);當(dāng)y>2時(shí),x∈(0,$\frac{1}{9}$).

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