Question

9．求證：?n∈N^*，都有1ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+…+nⁿ⁺¹＜$\frac{2}{3}$（n+1）ⁿ⁺¹成立．

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，注意證明當(dāng)n=k+1時的再一次放縮．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1¹⁺¹=1，右邊=$\frac{2}{3}×{2}^{2}$=$\frac{8}{3}$，∴左邊＜右邊，成立；
（2）假設(shè)對于任意n=k∈N^*，1^k+1+2^k+1+3^k+1+…+k^k+1＜$\frac{2}{3}（k+1）^{k+1}$成立，
則當(dāng)n=k+1時，左邊=1^k+2+2^k+2+…+k^k+2+（k+1）^k+2＜$\frac{2}{3}（k+1）^{k+1}$+（k+1）^k+2，
下面證明$\frac{2}{3}（k+1）^{k+1}$+（k+1）^k+2$＜\frac{2}{3}（k+2）^{k+2}$，即（k+1）^k+1（3k+5）＜2（k+2）^k+2，即證明：$\frac{3}{2}$$＜（1+\frac{1}{k+1}）^{k+1}$，
上式成立，因此當(dāng)n=k+1時，左邊＜右邊，不等式成立．
綜上（1）（2）可知：?n∈N^*，都有1ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+…+nⁿ⁺¹＜$\frac{2}{3}$（n+1）ⁿ⁺¹成立．

點評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．