Question

（本題滿分14分）已知，函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

（II）是否存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直? 若存在，

求出的值；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）若實數(shù)滿足，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）①若，則，在上單調(diào)遞增；  ②若，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；③若，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.  

（2）故不存在；（3）見解析.

【解析】第一問中，利用導(dǎo)數(shù)的思想，先求解定義域，然后令導(dǎo)數(shù)大于零，小于零，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。但是要對參數(shù)a分情況討論得到

第二問中，假設(shè)存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直，利用曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解．

進行分析求解

第三問中，要證，先變形然后利用第二問的結(jié)論證明。

 

解（1）∵，，∴． ……1分

①若，則，在上單調(diào)遞增；                  ……2分

②若，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，            ……4分

③若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.   ……………………5分

（2）解：∵，，

， ……6分

由（1）易知，當時，在上的最小值：，即時，．                     ………………………8分

又，∴．                     ……9分

曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解．

而，即方程無實數(shù)解．故不存在.       ………………………10分

（3）證明：

，由（2）知，令得.……14分