Question

（1）已知函數(shù)（其中a為常數(shù)），求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：不等式在0＜x＜1上恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)，討論a的正負，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）用分析法進行證明，要證明：在（0，1）上成立，只需證：，在（0，1）上恒成立，設(shè)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)性，可得結(jié)論．
解答：解：（1）由知定義域：{x|x＞-1}
對f（x）求導(dǎo)得：
①在a≤0時，有x+1-a＞0恒成立．故f（x）＞0
故此時f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增
②在a＞0時，由f'（x）=0知x=a-1

x	（-1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f'（x）	-		+
f（x）	↓	極小值	↑

故在a＞0時，f（x）在（-1，a-1）上為減函數(shù)，在[a-1，+∞）上為增函數(shù)．
因此函數(shù)在a≤0時，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；在a＞0時，f（x）在（-1，a-1）上為減函數(shù)，在[a-1，+∞）上為增函數(shù)．…（5分）
（2）要證明：在（0，1）上成立．
只需證：，在（0，1）上恒成立
設(shè)
則=
由（1）可知a=1，f（x）在x=0時取到最小值
有，在x＞0時恒成立．
從而可知g'（x）＞0，故g（x）在（0，1）上為增函數(shù)∴g（x）＞g（0）=0
即：恒成立，從而原不等式得證．…（12分）
點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，同時考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．