Question

給定兩個命題，P：對任意實(shí)數(shù)x都有x²+ax+4＞0恒成立；Q：函數(shù)f（x）=x²-2ax+3在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．如果P∨Q為真命題，P∧Q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出組成復(fù)合命題的簡單命題的為真時，a的取值范圍，由復(fù)合命題真值表知，若“p且q”為假，“p或q”為真，則命題p、q一真一假，
分別求出當(dāng)p真q假時和當(dāng)q真p假時a的取值范圍，再求并集可得答案．

解答：解：由對任意實(shí)數(shù)x都有x²+ax+4＞0恒成立，得△=a²-16＜0⇒-4＜a＜4；
∴命題P為真命題時，-4＜a＜4；
由函數(shù)f（x）=x²-2ax+3在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，得a≤1，
∴命題Q為真命題時，a≤1，
由復(fù)合命題真值表知，如果P∨Q為真命題，P∧Q為假命題，則命題P、Q一真一假，
如果P真Q假，則有

-4＜a＜4 a＞1

⇒1＜a＜4；             
如果Q真P假，則有

a≤-4或a≥4 a≤1

⇒a≤-4；             
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-4]∪（1，4）．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)合命題的真假判斷，考查了一元二次不等式的恒成立問題及一元二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題的關(guān)鍵是求得組成復(fù)合命題的簡單命題為真時a的取值范圍．