Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y²=2x相交于A、B兩點．
（1）求證：“如果直線l過點T（3，0），那么=3”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)根據(jù)向量的點乘運(yùn)算求證即可，
（2）把（1）中題設(shè)和結(jié)論變換位置然后設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)根據(jù)向量運(yùn)算求證即可．
解答：解：（1）設(shè)過點T（3，0）的直線l交拋物線y²=2x于點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
當(dāng)直線l的鈄率不存在時，直線l的方程為x=3，
此時，直線l與拋物線相交于點A（3，）、B（3，-）．
∴=3；
當(dāng)直線l的鈄率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），其中k≠0，
由得ky²-2y-6k=0⇒y₁y₂=-6
又∵，
∴，
綜上所述，命題“如果直線l過點T（3，0），那么=3”是真命題；
（2）逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點，
如果=3，那么該直線過點T（3，0）．該命題是假命題．
例如：取拋物線上的點A（2，2），B（，1），
此時=3，
直線AB的方程為：，而T（3，0）不在直線AB上；
說明：由拋物線y²=2x上的點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）滿足=3，可得y₁y₂=-6，
或y₁y₂=2，如果y₁y₂=-6，可證得直線AB過點（3，0）；如果y₁y₂=2，可證得直線
AB過點（-1，0），而不過點（3，0）．
點評：本題考查了真假命題的證明，但要知道向量點乘運(yùn)算的知識．