Question

已知A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}，其中a₁，a₂，a₃，a₄，a₅∈Z，設a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，且A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，又A∪B元素之和為224．求：
（1）a₁，a₄；      （2）a₅；       （3）A．

Answer 1

考點：并集及其運算

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由已知條件知a₁，a₄兩個整數(shù)的和為10，由此能求出a₁，a₄．
（2）由已知條件得a₂+a₃+a₅+a₂²+a₃²+a₅²=142，由此利用題設條件，用排除法能求出a₅．
（3）由（2）知a₂+a₃+a₂²+a₃²=32，由此利用排除法能求出集合A．

解答： 解：（1）∵A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={

a

2 1

，

a

2 2

，

a

2 3

，

a

2 4

，

a

2 5

}，
且A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，即兩個完全平方數(shù)的和為10，∴a₁=1，a₄=9．…4分
（2）∵A∪B的元素之和為224，
即a₂+a₃+a₅+a₁²+a₂²+a₃²+a₄²+a₅²=224，
而a₁²+a₄²=82∴a₂+a₃+a₅+a₂²+a₃²+a₅²=142，…8分
∵a₄=9＜a₅，若a₅=11，則a₂+a₃+a₂²+a₃²=10這不可能，
∴a₅=10．…12分
（3）由（2）知a₂+a₃+a₂²+a₃²=32
若a₃²=a₄=9，得a₂+a₂²=20，
∴a₂=4＞a₃ （矛盾）
從而a₂=3，a₃=4
∴A={1，3，4，9，10}．…15分

點評：本題考查集合的并集及其應用，是中檔題，解題時要注意排除法和函數(shù)思想的合理運用．