Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

12

=1和雙曲線C₂：

x2

m2

-

y2

n2

=1的離心率互為倒數(shù)，它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)坐標(biāo)為（

4 10

5

，

6 5

5

），則雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：把點(diǎn)（

4 10

5

，

6 5

5

），代入橢圓方程即可得出a，進(jìn)而得到橢圓的離心率和雙曲線的離心率，再利用雙曲線的離心率計(jì)算公式和把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程即可得出m²及n²．

解答： 解：（1）把點(diǎn)（

4 10

5

，

6 5

5

），代入橢圓

x2

a2

+

y2

12

=1，解得a²=16，a=4．
∴橢圓C₁，c²=a²-b²=4，即c=2．
∴橢圓C的離心率為e₁=

1

2

，∴雙曲線C₂的離心率為e₂=2，
由題意可得

1+ n2 m2 =2 ( 4 10 5 )2 m2 - ( 6 5 5 )2 n2 =1

，解得

m2=4 n2=12

，
∴雙曲線C₂為：

x2

4

-

y2

12

=1．
故答案為：

x2

4

-

y2

12

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力．