Question

【題目】對(duì)于定義域分別是A，B的函數(shù)， ，規(guī)定：

現(xiàn)給定函數(shù)

(1) 若，寫出函數(shù)的解析式；

(2) 當(dāng)時(shí)，求問題(1)中函數(shù)的值域；

(3) 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)，使得函數(shù)為偶函數(shù)且不是常數(shù)函數(shù)，并予以證明.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）， 為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)且不是常數(shù)函數(shù)，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求出的定義域，然后根據(jù)題意給出的解析式（2）根據(jù)（1）中的解析式，求復(fù)合函數(shù)的值域，先求復(fù)合部分的值域，然后再求值域（3）設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)，根據(jù)題意給出證明過程

解析：(1)因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>R， 的定義域?yàn)?/span> 所以；

（2）時(shí)， ；

時(shí)， ，

令，

因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，

綜上所述，當(dāng)時(shí)， ；

（3），此時(shí)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)且不是常數(shù)函數(shù).

證明如下： ，所以為奇函數(shù)；

又因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>R， 的定義域?yàn)?/span>R.

所以，

所以時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)且不是常數(shù)函數(shù).