Question

已知某三棱錐的三視圖如表示，
（1）求此三棱錐的表面積和體積；
（2）求它的外接球的表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由三視圖知幾何體為三棱錐，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面直角三角形斜邊的中點(diǎn)，側(cè)面ABC與ABD的斜高為5，底面直角邊長(zhǎng)為6，求出AM，CD，代入面積公式計(jì)算；
（2）利用其直觀圖，設(shè)外接球的球心為O，OM=x，列方程4+x=

(3 2 )2+x2

求出x，從而求出外接球的半徑R，代入球的表面積函數(shù)計(jì)算．

解答： 解：（1）由三視圖知幾何體為三棱錐，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面直角三角形斜邊的中點(diǎn)，
側(cè)面ABC與ABD的斜高為5，底面直角邊長(zhǎng)為6，其直觀圖如圖：

∴MN=3，AM=4，CD=6

2

，
∴三棱錐的表面積S=

1

2

×6×6+2×

1

2

×6×5+

1

2

×6

2

×4=48+12

2

；
三棱錐的體積V=

1

3

×

1

2

×6×6×4=24；
（2）∵BM=MC=MD=3

2

，且AM⊥平面BCD，設(shè)外接球的球心為O，OM=x，
則4+x=

(3 2 )2+x2

⇒x=

1

4

，
∴球的半徑R=4+

1

4

=

17

4

，
∴外接球的表面積為4π×(

17

4

)2=

289

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積、體積，考查了接體的表面積，解題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及三視圖的數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量．