已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an＋1(n∈N*)．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；

(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足，證明：{bn}是等差數(shù)列；

(Ⅲ)證明：－＜＋＋…＋＜(n∈N*)

答案：
解析：

　　解：(1)，

　　數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列

　　，　4分

　　(2)證法一：

　　，即①

　　②

　�、冢俚茫�，即③

　　④

　�、埽鄣�，即

　　所以數(shù)列是等差數(shù)列．　9分

　　證法二：同證法一，得：，令，得．

　　設，下面用數(shù)學歸納法證明．

　�、佼�時，等式成立．

　�、诩僭O當時，，那么

　　

　　這就是說，當時，等式也成立．

　　根據(jù)①和②可知對任何都成立．

　　

　　數(shù)列是等差數(shù)列．　9分

　　(3)證明：，

　　

　　，

　　

　　．　14分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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