Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^x-m-x，其中m為常數(shù)．
（1）若對任意x∈R有f（x）≥0成立，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m＞1時，判斷f（x）在[0，2m]上零點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最小值，由最小值大于等于0求得m的取值范圍；
（2）當(dāng)m＞1時，由f（0）•f（m）＜0，得到f（x）在（0，m）上有一個零點．再由導(dǎo)數(shù)求得f（2m）＞0．
得到f（m）•f（2m）＜0，得f（x）在（m，2m）上有一個零點．故可得f（x）在[0，2m]上有兩個零點．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-m-x，∴f′（x）=e^x-m-1，
令f′（x）=0，得x=m．
故當(dāng)x∈（-∞，m）時，e^x-m＜1，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（m，+∞）時，e^x-m＞1，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
故當(dāng)x=m時，f（m）為極小值，也是最小值．
令f（m）=1-m≥0，得m≤1，
即對任意x∈R，f（x）≥0恒成立時，m的取值范圍是（-∞，1]；
（2）由（1）知f（x）在[0，2m]上至多有兩個零點，
當(dāng)m＞1時，f（m）=1-m＜0．
∵f（0）=e^-m＞0，f（0）•f（m）＜0，
∴f（x）在（0，m）上有一個零點．
又f（2m）=e^m-2m，令g（m）=e^m-2m，
∵當(dāng)m＞1時，g′（m）=e^m-2＞0，
∴g（m）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（m）＞g（1）=e-2＞0，即f（2m）＞0．
∴f（m）•f（2m）＜0，
∴f（x）在（m，2m）上有一個零點．
故f（x）在[0，2m]上有兩個零點．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)零點的判斷方法，正確分類是解答（2）的關(guān)鍵，是中檔題．