Question

【題目】設集合A2n={1，2，3，…，2n}（n∈N* ， n≥2）．如果對于A2n的每一個含有m（m≥4）個元素的子集P，P中必有4個元素的和等于4n+1，稱正整數m為集合A2n的一個“相關數”． （Ⅰ）當n=3時，判斷5和6是否為集合A6的“相關數”，說明理由；
（Ⅱ）若m為集合A2n的“相關數”，證明：m﹣n﹣3≥0；
（Ⅲ）給定正整數n．求集合A2n的“相關數”m的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當n=3時，A6={1，2，3，4，5，6}，4n+1=13，

①對于A6的含有5個元素的子集{2，3，4，5，6}，

因為2+3+4+5＞13，

所以5不是集合A6的“相關數”；

②A6的含有6個元素的子集只有{1，2，3，4，5，6}，

因為1+3+4+5=13，

所以6是集合A6的“相關數”．

（Ⅱ）考察集合A2n的含有n+2個元素的子集B={n﹣1，n，n+1，…，2n}，

B中任意4個元素之和一定不小于（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）=4n+2．

所以n+2一定不是集合A2n的“相關數”；

所以當m≤n+2時，m一定不是集合A2n的“相關數”，

因此若m為集合A2n的“相關數”，必有m≥n+3，

即若m為集合A2n的“相關數”，必有m﹣n﹣3≥0；

（Ⅲ）由（Ⅱ）得 m≥n+3，

先將集合A2n的元素分成如下n組：

Ci=（i，2n+1﹣i），（1≤n），

對A2n的任意一個含有n+3個元素的子集p，

必有三組 ， ， 同屬于集合P，

再將集合A2n的元素剔除n和2n后，分成如下n﹣1組：

Dj=（j，2n﹣j），（1≤j≤n﹣1），

對于A2n的任意一個含有n+3個元素的子集P，必有一組 屬于集合P，

這一組 與上述三組 ， ， 中至少一組無相同元素，

不妨設 與 無相同元素．

此時這4個元素之和為[i1+（2n+1﹣i1）+（2n﹣j4）]=4n+1，

所以集合A2n的“相關數”m的最小值為n+3

【解析】（Ⅰ）根據相關數的定義判斷即可；（Ⅱ）根據相關數的定義得到m≤n+2時，m一定不是集合A2n的“相關數”，得到m≥n+3，從而證明結論；（Ⅲ）根據m≥n+3，將集合A2n的元素分成n組，對A2n的任意一個含有n+3個元素的子集p，必有三組 ， ， 同屬于集合P，不妨設 與 無相同元素，此時這4個元素之和為[i1+（2n+1﹣i1）+（2n﹣j4）]=4n+1，從而求出m的最小值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的最值及其幾何意義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲担�