Question

已知S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+a₃C_n³+a₄C_n⁴+…+a_nC_nⁿ，b_n=n•2ⁿ
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)是(

x

-

2

x

)6展開式的常數(shù)項(xiàng)的

1

60

，公差d為(

x

-

2

x

)6展開式的各項(xiàng)系數(shù)和①求S₂，S₃，S₄，②找出S_n與b_n的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）若an=

qn-1

q-1

(q≠±1)，且數(shù)列{c_n}滿足c1+c2+c3+…+cn=

Sn

2n

，求證：{c_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)式定理求出，a₁=1，d=1，①利用組合數(shù)公式可求出S₂，S₃，S₄，②可得出S_n=

1

2

b_n，再用倒序相加法證明．
（2）通項(xiàng)a_kC_n^k=

qk-1

q-1

C

k n

 =

1

q-1

qk 

C

k n

-

1

q-1

C

k n

 (q≠±1)，利用分組法，結(jié)合二項(xiàng)式定理的逆用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求出 T_n=c1+c2+c3+…+cn=

Sn

2n

=

1

q-1

[(

1+q

2

)n-1]．再利用數(shù)列Tn與cn的關(guān)系求出c_n=

1

2

(

1+q

2

)n-1，從而易證{c_n}是等比數(shù)列．

解答：解：（1）(

x

-

2

x

)6展開式的通項(xiàng)為

C

r 6

(

x

)6-r(-

2

x

)r=(-2)r

C

r 6

x3-

3

2

r，令3-

3

2

r=0，r=2，
常數(shù)項(xiàng)為（-2）²C₆²=60，a₁=1，在(

x

-

2

x

)6展開式中令x=1，得出各項(xiàng)系數(shù)和為（1-2）⁶=1，即d=1．a(chǎn)_n=n．
①S₂=C₂¹+2C₂²=4，S₃=C₃¹+2C₃²+3C₃³=12，S₄=C₄¹+2C₄²+3C₄³+4C₄⁴=32
②S_n=

1

2

b_n
∵S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+4C_n⁴+…+nC_nⁿ
又 S_n=nC_nⁿ+（n-1）C_{n ^n-1}+（n-2）C_{n ^n-2}+（n-3）C_{n ^n-3}+…+C_n¹
兩式相加得2S_n=C_n¹+n（C_n¹+C_n²+C_n³+C_n⁴+…+C_n^n-1_）+nC_n^n₌n（2n-C_n⁰-C_nⁿ）+2n=n•2ⁿ=b _n
∴S_n=

1

2

b_n．
（2）∵a_kC_n^k=

qk-1

q-1

C

k n

 =

1

q-1

qk 

C

k n

-

1

q-1

C

k n

 (q≠±1)     
∴S_n=

1

q-1

n

k=1

qk

C

k n

-

1

q-1

n

k=1

C

k n

=

1

q-1

[(1+q)n-1 ]-

1

q-1

（2ⁿ-1）=

1

q-1

[（1+q）ⁿ-2ⁿ]．
∴T_n=c1+c2+c3+…+cn=

Sn

2n

=

1

q-1

[(

1+q

2

)n-1]．
當(dāng)n=1時(shí)，c₁=T₁=

1

q-1

q-1

2

=

1

2

．
當(dāng)n≥2時(shí) c_n=T_n-T_n-1=

1

q-1

[(

1+q

2

)n-(

1+q

2

)n-1]=

1

2

(

1+q

2

)n-1，對(duì)n=1時(shí)也成立．
∴c_n=

1

2

(

1+q

2

)n-1，{c_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以(

1+q

2

) 為公比的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：重點(diǎn)考察二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解決的方法有倒序相加法求和，利用數(shù)列和的定義求通項(xiàng)，難點(diǎn)在于綜合分析，配湊逆用二項(xiàng)式定理，屬于難題．考查計(jì)算、化簡(jiǎn)能力．