Question

設(shè)函數(shù)

（1）已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

（2）存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值及此時(shí)的值．

 

Answer 1

(1) (2) 的最大值為3，此時(shí)

【解析】

試題分析：

(1)該函數(shù)顯然是二次函數(shù),開口向上,所以在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減,右側(cè)單調(diào)遞增.根據(jù)題意可知區(qū)間在對(duì)稱軸的左側(cè),所以根據(jù)對(duì)稱軸即可求出的取值范圍;

(2)由于該二次函數(shù)的對(duì)稱軸未知,所以當(dāng)對(duì)稱軸與區(qū)間處于不同位置時(shí),函數(shù)的單調(diào)性會(huì)發(fā)生改變,從而影響到函數(shù)的最值,所以得討論區(qū)間與對(duì)稱軸的位置關(guān)系,通過討論位置關(guān)系確定單調(diào)性和最值,建立關(guān)于的關(guān)系式,從而得到最終的結(jié)論.

試題解析：

（1）該函數(shù)顯然是二次函數(shù),開口向上,所以在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減,

該函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以區(qū)間在對(duì)稱軸的左側(cè),

即所以

（2）顯然，對(duì)稱軸

討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系：

（1）當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)時(shí),有，即,此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以要使恒成立，只需滿足

由及得與矛盾,舍.

（2）當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間右側(cè)時(shí),有,此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，

要使恒成立，只需滿足

由得，

所以與矛盾,舍.

（3）當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)時(shí),有，此時(shí)函數(shù)在上遞減，在上遞增，

要使恒成立，只需滿足

由前二式得，由后二式得

又 得 即，故

所以。當(dāng)時(shí)，時(shí)滿足題意.

綜上的最大值為3，此時(shí)

考點(diǎn)：二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系的討論,確定單調(diào)性和最值.