設(shè)矩陣A=
1a
01
（a≠0）．
（1）求A2，A3，并猜想An（n∈N*）；
（2）利用（1）所猜想的結(jié)論，求證：An的特征值是與n無關(guān)的常數(shù)，并求出此常數(shù)．
考點：特征值與特征向量的計算
專題：選作題,矩陣和變換
分析：（1）利用矩陣的乘法求A2，A3，并猜想An（n∈N*）；
（2）根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，即可證明結(jié)論．
解答： （1）解：A2=
1a2
01
，A3=
1a3
01
，An=
1an
01
；
（2）證明：設(shè)An的特征值為λ，則
f(λ)=
.
λ-1an
0λ-1
.
=0，∴λ=1∴
0x+any=0
0x+0y=0
，
y=0，x為任意實數(shù)，所以對應(yīng)的特征向量為
1
0
又因為A
a
=λ
a
，所以An
a
=λn
a，
所以An的特征值為λn=1，與n無關(guān)．
點評：本小題主要考查矩陣乘法、矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了解高一女生的身高情況，某中學(xué)隨機(jī)抽取部分高一女生測量身高，所得數(shù)據(jù)整理后列出頻率分布表如下：
組別頻數(shù)頻率
145.5-149.580.16
149.5-153.560.12
153.5-157.5140.28
157.5-161.5100.20
161.5-165.580.16
165.5-169.5mn
合計MN
（1）求出表中字母m、n、M、N所對應(yīng)的數(shù)值；
（2）畫出頻率分布直方圖；
（3）若該校高一女生有450人，試估計高一女生身高在149.5-165.5cm范圍內(nèi)有多少人？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1-an+1=0，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且滿足Sn+bn=2，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=anbn（n∈N*），求數(shù)列{cn}的前n項和為Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3+S4=S5，a7=5a2+2．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=（
1
2
）n-1，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差d不為零，Sn為其前n項和，S6=5S3
（Ⅰ）求證：a2，a3，a5成等比數(shù)列；
（Ⅱ）若a2=2，且a2，a3，a5為等比數(shù)列{bn}的前三項，求數(shù)列|
Sn+1
bn
|的最大項的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-
1
2x

（1）判斷函數(shù)的奇偶性、增減性并證明．
（2）若f（x）中，x=sinα+cosα，α∈（-
π
2
，0），且f（1-m）+f（1-m2）＜0，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)校的生物實驗室里有一個魚缸，里面有6條魚，其中4條黑色的和2條紅色的，有位生物老師每周4天有課，每天上、下各一節(jié)課，每節(jié)課前從魚缸中任取1條魚在課上用，用后再放回魚缸．
（1）求這位生物老師在一天中上、下午所撈的魚為同色的概率；
（2）求這位生物老師一周中恰有兩天上、下午所撈得的魚為不同色的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α∈（-
π
2
，0），且sinα=-
4
5
，則cos（π+α）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)RAND可以產(chǎn)生區(qū)間[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，若a1=RAND，b1=RAND且x=10（a1-0.5），y=10b1，（x，y）為點M的坐標(biāo)，則點M滿足x＜y＜x+5的概率是
 
．

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同步練習(xí)冊答案