已知函數(shù)f(x)=ln(2+mx)-
3
2
x2．
（1）若f（x）在
1
3
處取得極值，求m的值；
（2）若以函數(shù)F(x)=f(x)+
3
2
x2(x∈(0，3])圖象上任意一點P（x0，y0）為切點的切線的斜率k≥
1
4
恒成立，求正實數(shù)m的最小值；
分析：（1）由函數(shù)f(x)=ln(2+mx)-
3
2
x2，可求得f′（x）=
m
2+mx
-3x，再由f（x）在
1
3
處取得極值，建立f′(
1
3
) =
m
2+m
1
3
-1=0，求解m．
（2）根據(jù)題意：F（x）=ln（2+mx），則有∴F′(x)=
m
2+mx
≥
1
4
，x∈（0，3）恒成立，轉化為：m≥
2
4-x
，x∈（0，3）恒成立，只要求得t=
2
4-x
，x∈(0，3)最大值即可．
解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=ln(2+mx)-
3
2
x2．
∴f′（x）=
m
2+mx
-3x
∵f（x）在
1
3
處取得極值，
∴f′(
1
3
) =
m
2+m
1
3
-1=0
∴m=3
（2）根據(jù)題意：F（x）=ln（2+mx）
∴F′(x)=
m
2+mx

∴F′(x)=
m
2+mx
≥
1
4
，x∈(0，3)恒成立，
轉化為：m≥
2
4-x
，x∈(0，3)恒成立
∴m≥
1
2

∴正實數(shù)m的最小值是
1
2
．
點評：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運用，還考查了不等式恒成立問題和函數(shù)最值的求法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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