Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形， ，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，E是AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線(xiàn)AM∥平面PNC；
（Ⅱ）求證：直線(xiàn)CD⊥平面PDE；
（III）在AB上是否存在一點(diǎn)G，使得二面角G﹣PD﹣A的大小為 ，若存在，確定G的位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在PC上取一點(diǎn)F，使PF=2FC，連接MF，NF，

∵PM=2MD，AN=2NB，
∴MF∥DC，MF= ，AN∥DC，AN= ．
∴MF∥AN，MF=AN，
∴MFNA為平行四邊形，
即AM∥NA．
又AM平面PNC，
∴直線(xiàn)AM∥平面PNC；
（Ⅱ）∵E是AB中點(diǎn)，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠AED=90°．
∵AB∥CD，∴∠EDC=90°，即CD⊥DE．
又PD⊥平面ABCD，∴CD⊥PD．
又DE∩PD=D，∴直線(xiàn)CD⊥平面PDE；
（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

則 ．
設(shè)面PDA的法向量 ，
由 ，得 ．
設(shè)面PDG的法向量 ，
由 ，得 ．
∴cos60°= ．
解得 ，則 ．
∴G與B重合．點(diǎn)B的位置為所求．
【解析】（Ⅰ）在PC上取一點(diǎn)F，使PF=2FC，連接MF，NF，結(jié)合已知可得MF∥DC，MF= ，AN∥DC，AN= ．從而可得MFNA為平行四邊形，即AM∥NA．再由線(xiàn)面平行的判定可得直線(xiàn)AM∥平面PNC；（Ⅱ）由E是AB中點(diǎn)，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，得∠AED=90°．進(jìn)一步得到CD⊥DE．再由PD⊥平面ABCD得CD⊥PD．由線(xiàn)面垂直的判定可得直線(xiàn)CD⊥平面PDE；（III）由（Ⅱ）可知DP，DE，DC，相互垂直，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．然后利用平面法向量所成角的余弦值求得G點(diǎn)位置．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線(xiàn)與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行，以及對(duì)直線(xiàn)與平面垂直的判定的理解，了解一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．