Question

已知如圖是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分圖象．
（1）求函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，求該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x∈R時(shí)，寫出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（4）當(dāng)x∈R時(shí)，求使f（x）≥1 成立的x 的取值集合；
（5）當(dāng)x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由圖可得A=2，由T=π可求得ω=2，由又

π 2 -φ

ω

=

π

6

可求得φ；
（2）由2x+

π

6

=kπ+

π

2

可求其對(duì)稱軸方程，由2x+

π

6

=kπ可求其對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（4）由2kπ+

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，可求使f（x）≥1 成立的x 的取值集合；
（5）x∈[

π

12

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，從而可求求f（x）的值域．

解答：解：（1）由圖象可得：A=2，（1分）
T=2（

2π

3

-

π

6

）=π=

2π

ω

，
∴ω=2（3分）
又

π 2 -φ

ω

=

π

6

，
∴φ=

π

6

（5分）
所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）（6分）
（2）由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z得其對(duì)稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z；對(duì)稱中心坐標(biāo)為：（

kπ

2

-

π

12

，）；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得：（8分）
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z（9分）
所以f（x）的增區(qū)間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）（10分）
（4）由f（x）≥1得2sin（2x+

π

6

）≥1，
∴sin（2x+

π

6

）≥

1

2

，
所以，2kπ+

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z，
解得：kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴f（x）≥1 成立的x 的取值集合為{x|kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z}（12分）
（5）∵x∈[

π

12

，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]．
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f（x）取得最大值2；
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）取得最小值-1，故f（x）的值域?yàn)閇-1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，定義域與最值，屬于三角的綜合應(yīng)用，是難題．