在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)為Mf(x),定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x),某服裝公司每天最多生產(chǎn)100件.生產(chǎn)x(x≥1)件的收入函數(shù)為R(x)=300x-2x2(單位元),其成本函數(shù)為C(x)=50x+300(單位元),利潤等于收入與成本之差.
(1)求出利潤函數(shù)p(x)及其邊際利潤函數(shù)Mp(x);
(2)分別求利潤函數(shù)p(x)及其邊際利潤函數(shù)Mp(x)的最大值.
解:(1)利潤函數(shù)p(x)=R(x)-C(x)=-2x2+250x-300,x∈[1,100],x∈N;
邊際利潤函數(shù)Mp(x)=p(x+1)-p(x)=[-2(x+1)2+250(x+1)-300]-(-2x2+250x-300)=248-4x,x∈[1,100],x∈N.
(2)由利潤函數(shù)p(x)=-2x2+250x-300=-2(x-62.5)2+7512.5,x∈[1,100],x∈N,故當(dāng)x=62或63時,
有最大值p(x)max=7512(元);
因為Mp(x)=248-4x為減函數(shù),故當(dāng)x=1時有最大值244.
分析:(1)利潤函數(shù)p(x)=收入函數(shù)R(x)-成本函數(shù)C(x),邊際利潤函數(shù)Mp(x)=p(x+1)-p(x),代入計算即可;
(2)由利潤函數(shù)p(x)是二次函數(shù),故可以求出函數(shù)p(x)的最大值p(x)max;邊際利潤函數(shù)為Mp(x)是一次函數(shù),也可以求出其最大值.
點評:本題考查了利潤函數(shù)模型的應(yīng)用,本題中利潤函數(shù)是二次函數(shù),利用配方法或圖象的對稱軸,都可以得出函數(shù)的最大值,需要注意自變量的取值是正整數(shù).