Question

已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為(-

15

，0)，且經(jīng)過點(diǎn)M（4，1）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若斜率為1的直線l（不過點(diǎn)M）交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A，B，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，從而可得a²-b²=15，

16

a2

+

1

b2

=1，從而解得；
（2）由題可設(shè)直線l方程為y=x+m；直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂；要證直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形，只要證明k₁+k₂=0；從而證明．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵c=

15

，∴a²-b²=15；
又∵

16

a2

+

1

b2

=1；
故a²=20，b²=5；
故橢圓E的方程為

x2

20

+

y2

5

=1；
（2）證明：由題可設(shè)直線l方程為y=x+m；直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂；
將方程y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1整理得，
5x²+8mx+4m²-20=0；
△=64m²-20（4m²-5）＞0，
解得，-5＜m＜5；
要證直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形，
只要證明k₁+k₂=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
則x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

；
故k₁+k₂=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

；
而（y₁-1）（x₂-4）+（y₂-1）（x₁-4）
=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₂x₁+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=2

4m2-20

5

-（m-5）

8m

5

-8（m-1）=0；
故k₁+k₂=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線與直線方程聯(lián)立求解，化簡(jiǎn)比較困難，屬于中檔題．