Question

19．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)長(zhǎng)度單位，再向下平移$\frac{1}{2}$個(gè)長(zhǎng)度單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）首先，根據(jù)降冪公式，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，得到f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），然后，確定其單調(diào)遞減區(qū)間即可；
（2）首先，根據(jù)平移變換，得到函數(shù)g（x）的解析式，然后，求解器值域即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x-1．
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z，
（2）函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)長(zhǎng)度單位，再向下平移$\frac{1}{2}$個(gè)長(zhǎng)度單位，
∴g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]-$\frac{1}{2}$，
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∴g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的值域[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了三角公式、三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．