Question

10．不等式（a+1）x²+ax+a＞0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 當(dāng)a+1=0，即a=-1時(shí)，不等式不恒成立，當(dāng)a+1≠0，即a≠-1時(shí)，若不等式（a+1）x²+ax+a＞0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}a+1＞0\\△={a}^{2}-4（a+1）a＜0\end{array}\right.$，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)a+1=0，即a=-1時(shí)，不等式（a+1）x²+ax+a＞0可化為：-x-1＞0對任意實(shí)數(shù)x不恒成立，
當(dāng)a+1≠0，即a≠-1時(shí)，若不等式（a+1）x²+ax+a＞0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}a+1＞0\\△={a}^{2}-4（a+1）a＜0\end{array}\right.$，
解得：a∈（-1，0）∪（$\frac{4}{3}$，+∞），
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，0）∪（$\frac{4}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．