Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，其中a、b∈R且f（

1

2

）=

2

5

（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-1，1）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)及f（

1

2

）=

2

5

得f（-

1

2

）=-

2

5

，由此可得關(guān)于a，b的方程組，解出可得a，b；
（2）在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，通過作差可比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)單調(diào)性的定義可得結(jié)論；

解答：解：（1）∵f（x）=

ax+b

1+x2

為奇函數(shù)，且 f（

1

2

）=

a• 1 2 +b

1+( 1 2 )2

=

2

5

，
∴f（-

1

2

）=

a•(- 1 2 )+b

1+(- 1 2 )2

=-f（

1

2

）=-

2

5

，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=

x

1+x2

．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．證明如下：
在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，定義是解決相關(guān)問題的基本方法，要熟練．