Question

已知圓C的方程為x²+（y-4）²=4，點O是坐標原點．直線l：y=kx與圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)Q（m，n）是線段MN上的點，且．請將n表示為m的函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將直線l方程與圓C方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)兩函數(shù)圖象有兩個交點，得到根的判別式的值大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范圍；
（Ⅱ）由M、N在直線l上，設(shè)點M、N坐標分別為（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），利用兩點間的距離公式表示出|OM|²與|ON|²，以及|OQ|²，代入已知等式中變形，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂與x₁x₂，用k表示出m，由Q在直線y=kx上，將Q坐標代入直線y=kx中表示出k，代入得出的關(guān)系式中，用m表示出n即可得出n關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求出m的范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）將y=kx代入x²+（y-4）²=4中，得：（1+k²）x²-8kx+12=0（*），
根據(jù)題意得：△=（-8k）²-4（1+k²）×12＞0，即k²＞3，
則k的取值范圍為（-∞，-）∪（，+∞）；
（Ⅱ）由M、N、Q在直線l上，可設(shè)M、N坐標分別為（x₁，kx₁），（x₂，kx₂），
∴|OM|²=（1+k²）x₁²，|ON|²=（1+k²）x₂²，|OQ|²=m²+n²=（1+k²）m²，
代入=+得：=+，
即=+=，
由（*）得到x₁+x₂=，x₁x₂=，
代入得：=，即m²=，
∵點Q在直線y=kx上，∴n=km，即k=，代入m²=，化簡得5n²-3m²=36，
由m²=及k²＞3，得到0＜m²＜3，即m∈（-，0）∪（0，），
根據(jù)題意得點Q在圓內(nèi)，即n＞0，
∴n==，
則n與m的函數(shù)關(guān)系式為n=（m∈（-，0）∪（0，））．
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，兩點間的距離公式，以及函數(shù)與方程的綜合運用，本題計算量較大，是一道綜合性較強的中檔題．