Question

求由三條曲線y=x²，4y=x²，y=1 所圍圖形的面積．

Answer 1

分析：根據(jù)對稱性，只算出y軸右邊的圖形的面積再兩倍即可，求出y=1與y=x²，4y=x²的交點坐標，然后選擇x為積分變量，利用定積分表示出陰影部分面積，根據(jù)定積分的定義求出面積即可．

解答：解：如圖，因為y=x²，4y=x²是偶函數(shù)，根據(jù)對稱性，只算出y軸右邊的圖形的面積再兩倍即可．
解方程組

y=x2 y=1

 和

4y=x2 y=1

，
得交點坐標（-1，1），（1，1），（-2，1），（2，1）．
選擇x為積分變量，則S=2[

∫

1 0

(x2-

x2

4

) dx+

∫

2 1

(1-

x2

4

) dx]=

4

3

．
∴由三條曲線y=x²，4y=x²，y=1 所圍圖形的面積

4

3

點評：對稱性的應(yīng)用和積分變量的選取都影響著計算過程的繁簡程度．運用微積分基本定理計算定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．