已知數(shù)列an滿足遞推關(guān)系式:2an+1=1-an2(n≥1,n∈N),且0<a1<1.
(1)求a3的取值范圍;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:|an-(
2
-1)|<
1
2n
(n≥3,n∈N);
(3)若bn=
1
an
,求證:|bn-(
2
+1)|<
12
2n
(n≥3,n∈N).
分析:(1)由題設(shè)知a2=
1
2
(1-a21)
,且a1∈(0,1),由二次函數(shù)性質(zhì)可知a2∈(0,
1
2
).由此能求出a3的取值范圍;(2)用數(shù)學(xué)歸納法進行證明,證明過程中要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
(3)由|an-(
2
-1)|<
1
2n
(n≥3)
變形為:|
1
2
-1
-
1
an
|<
1
2n
1
(
2
-1)|an|
=
2
+1
2n
1
|an|
,由此入手能夠得到證明.
解答:解:(1)∵a2=
1
2
(1-a21)
,且a1∈(0,1),由二次函數(shù)性質(zhì)可知a2∈(0,
1
2
).
a3=
1
2
(1-
a
2
2
)
a2∈(0,
1
2
)
a3∈(
3
8
,
1
2
).(3分)

(2)證明:①在(1)的過程中可知n=3時,
3
8
a3
1
2
,
則-
1
8
3
8
-(
2
-1)<a3-(
2
-1)<
1
2
-(
2
-1)<
1
8
,
于是當(dāng)n=3時,|an-(
2
-1)|<
1
2n
成立.
②假設(shè)在n=k(k≥3)時,|an-(
2
-1)|<
1
2n
(*)成立,即|ak-(
2
-1)|<
1
2k

則當(dāng)n=k+1時,|ak+1-(
2
-2)|=|
1
2
-
1
2
a
2
k
-(
2
-1)|
=
1
2
|ak-(
2
-1)|•|ak+
2
-1|

其中0<ak+
2
-1<2(
2
-1)+
1
2k
<1(k≥3)

于是|ak+1-(
2
-1)|<
1
2
|ak-(
2
-1)|<
1
2k+1
,
從而n=k+1時(*)式得證.
綜合①②可知:n≥3,n∈{N}時|an-(
2
-1)|<
1
2n


(3)由|an-(
2
-1)|<
1
2n
(n≥3)
變形為:|
1
2
-1
-
1
an
|<
1
2n
1
(
2
-1)|an|
=
2
+1
2n
1
|an|
,
而由
2
-1-
1
2n
an
2
-1+
1
2n
(n≥3,n∈N)
可知:
2
-1-
1
8
an
2
+1+
1
8
在n≥3上恒成立,
于是
1
an
1
2
-1-
1
8
,
2
+1
an
2
+1
2
-1-
1
8
<12

又∵|an-(
2
-1)|<
1
2n
,∴|
1
an
-(
2
+1)|<
12
2n
,
從而原不等式|bn-(
2
+1)|<
12
2n
(n≥3,n∈N)得證.(14分)
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,挖掘題設(shè)中的隱含條件,注意數(shù)學(xué)歸納法的解題過程.
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已知數(shù)列an滿足遞推關(guān)系式:2an+1=1-an2(n≥1,n∈N),且0<a1<1.
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(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:數(shù)學(xué)公式(n≥3,n∈N);
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(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:|an-(
2
-1)|<
1
2n
(n≥3,n∈N);
(3)若bn=
1
an
,求證:|bn-(
2
+1)|<
12
2n
(n≥3,n∈N).

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(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n≥3,n∈N);
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(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n≥3,n∈N);
(3)若,求證:(n≥3,n∈N).

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