Question

1．已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)且公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁．
（1）當(dāng)a₁=1，d=2時(shí)，證明：{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列；
（2）求證：數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列的充要條件是d=2a₁．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a₁=1，d=2時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行證明即可．

解答 證明：（1）當(dāng)a₁=1，d=2時(shí)，$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{n}^{2}}=n$----------------------（2分）
則$\sqrt{{S}_{n+1}}$-$\sqrt{{S}_{n}}$=n+1-n=1（常數(shù)）
∴{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列----------------------（4分）
（2）①充分性：若d=2a₁，則$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{n}^{2}{a}_{1}}$=$n\sqrt{{a}_{1}}$----------------------（6分）
$\sqrt{{S}_{n+1}}$-$\sqrt{{S}_{n}}$=（n+1）$\sqrt{{a}_{1}}$-n$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$（常數(shù)）
∴{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列----------------------（8分）
②必要性：若{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列，則2$\sqrt{{S}_{2}}=\sqrt{{S}_{1}}+\sqrt{{S}_{3}}$，
即2$\sqrt{2{a}_{1}+d}=\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{3{a}_{1}+3d}$----------------------（10分）
兩邊平方，整理得$4{a}_{1}+d=2\sqrt{{a}_{1}（3{a}_{1}+3d）}$，
兩邊再平方，整理得4a₁²-4a₁d+d²=0，
即（2a₁-d）²=0，
∴2a₁-d=0，d=2a₁----------------------（15分）
綜上，數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列的充要條件是d=2a₁----------------------（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的定義以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．