Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax-1，x∈[-2，2]，
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的最大與最小值；  
（2）求實數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在[-2，2]上不是單調(diào)函數(shù)；    
（3）求函數(shù)f（x）的最大值g（a），并求g（a）的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將a=1代入，分析函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而可得f（x）的最大與最小值；  
（2）函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，判斷對稱軸在已知的區(qū)間內(nèi)，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）討論對稱軸的位置，然后求解函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求g（a）表達(dá)式．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=-x²+2ax-1的圖象是開口朝下，且以直線x=a為對稱軸的拋物線；
（1）當(dāng)a=1時，x∈[-2，2]，
函數(shù)f（x）在[-2，1]上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)，
∴y_max=f（1）=0，
y_min=f（-2）=-9，
（2）若函數(shù)f（x）在[-2，2]上不是單調(diào)函數(shù)，
則a∈（-2，2），
∴-2＜a＜2時函數(shù)f（x）在[-2，2]上不是單調(diào)函數(shù)；
（3）當(dāng)a≤-2時，g（a）=f（-2）=-4a-5，g（a）的最小值為3； 
當(dāng)-2＜a＜2時，g（a）=f（a）=a²-1，g（a）的最小值為-1，
當(dāng)a≥2時，g（a）=f（2）=4a-5，g（a）的最小值為3，
∴當(dāng)a∈R時，g（a）的最小值為-1

點評：本題考查二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求法，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力以及分類討論思想的應(yīng)用．