Question

已知函數(shù)f（x）=x+，且f（1）=2．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）此函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）由題意可得 1+-2，解得a=1．
（2）由（1）可得fx）=x+，它的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
再由f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）此函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
證明：設(shè)x₂＞x₁＞1，可得f（x₂）-f（x₁）=（）-（）=x₂-x₁+=（x₂-x₁）（1-）．
由題設(shè)可得x₂-x₁＞0，＜1，故 1-＞0，∴f （x₂）-f（x₁）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
分析：（1）由題意可得 1+-2，喲此解得a的值．
（2）由（1）可得fx）=x+，求得它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．再由f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）此函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．