Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= +ax，x＞1．
（1）若函數(shù)f（x）在 處取得極值，求a的值；
（2）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= +a，由題可知 ，

經(jīng)檢驗(yàn)a=2，符合題意

（2）解：將方程（2x﹣m）lnx+x=0兩邊同除lnx得（2x﹣m）+ =0，

整理得 +2x=m，即函數(shù)f（x）與函數(shù)y=m在（1，e]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

f（x）= +2x，f′（x）= ，

令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，

解得：lnx= 或lnx=﹣1（舍），即x= ，

當(dāng)1＜x＜ 時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞ 時(shí)，f′（x）＞0，

可知，f（x）在（1， ）上單調(diào)遞減，在（ ，e）上單調(diào)遞增，

f（ ）=4 ，f（e）=3e，當(dāng)x→1時(shí)， →+∞，∴4 ＜m≤3e，

實(shí)數(shù)m的取值范圍為（4 ，3e]

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出a的值，檢驗(yàn)即可；（2）整理得 +2x=m，即函數(shù)f（x）與函數(shù)y=m在（1，e]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由f（x）= +2x的單調(diào)性求出m的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．