Question

（2008•黃岡模擬）把正奇數(shù)數(shù)列{2n-1}中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表：設(shè)a_ij是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)．
（Ⅰ）若a_mn=2007，求m，n的值；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）=8ⁿx³（x＞0）為，若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為b_n，求數(shù)列{f（b_n）}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，三角形數(shù)表中前m行共有1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

個(gè)數(shù)，第m行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中第

m(m+1)

2

項(xiàng)，由a_mn=2007的m是不等式m²+m-1≥2007的最小正整數(shù)解可求得m=45，從而可求得n的值；
（Ⅱ）利用反函數(shù)的概念，可求得f（x）=(

1

2

)n

3	x

（x＞0），繼而可求得b_n=n³，于是可求f（b_n）=(

1

2

)n

3	n3

=n•(

1

2

)n，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{f（b_n）}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵三角形數(shù)表中前m行共有1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

個(gè)數(shù)，
∴第m行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中第

m(m+1)

2

項(xiàng)，即2•

m(m+1)

2

-1=m²+m-1．
因此，使得a_mn=2007的m是不等式m²+m-1≥2007的最小正整數(shù)解．
由m²+m-1≥2007得m²+m-2008≥0，
∴m≥

-1+ 1+8032

2

＞

-1+ 7921

2

=44．
∴m=45．
第45行第一個(gè)數(shù)是44²+44-1+2=1981，
∴n=

2007-1981

2

+1=14．
（Ⅱ）∵f^-1（x）=8ⁿx³（x＞0），
∴f（x）=(

1

2

)n

3	x

（x＞0）．
∵第n行最后一個(gè)數(shù)是n²+n-1，且有n個(gè)數(shù)，若n²+n-1將看成第n行第一個(gè)數(shù)，則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列，
故b_n=n（n²+n-1）+（-2）•

n(n-1)

2

=n³．
∴f（b_n）=(

1

2

)n

3	n3

=n•(

1

2

)n．
故S_n=

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，①
∴

1

2

S_n=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1，②
①-②得：

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1
=1-（n+2）•(

1

2

)n+1，
∴S_n=2-（n+2）•(

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查分析與推理，考查反函數(shù)與錯(cuò)位相減法求和的綜合應(yīng)用，屬于難題．