Question

（06年北京卷理）（14分）

已知點，動點滿足條件.記動點的軌跡為.

    （Ⅰ）求的方程；

    （Ⅱ）若是上的不同兩點，是坐標原點，求的最小值.

Answer 1

解析：（1）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0）

（1）       當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為x＝x₀，此時A（x₀，），

B（x₀，－），＝2

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：

（1－k²）x²－2kbx－b²－2＝0……………………1°

依題意可知方程1°有兩個不相等的正數(shù)根，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

解得|k|>1又＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋（kx₁＋b）（kx₂＋b）＝（1＋k²）x₁x₂＋kb（x₁＋x₂）＋b²＝>2

綜上可知的最小值為2